笔者：参宿四星云
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本文考虑的粒子是相对论性的、有加速度的，在闵氏时空中的带电粒子。
本文将从麦克斯韦方程组出发，通过李纳-维谢尔势导出电磁场、坡印廷矢量，由此计算单粒子的远场辐射角分布，并画出若干辐射幅角分布图。
1. 前置知识
1.1 电磁势的达朗贝尔方程
从真空中的麦克斯韦方程组出发，即
再使用以下的变换关系引进矢势 与标势 ，二者可以合称为“电磁势”。
可以将 转换为 。在把麦克斯韦方程组转换为 的形式之前，先容我稍微阐释一下这两个新变量。
从 (2a)(2b) 可以看出， 与 确实是某种“势”，这是因为，若给全空间的 与 都加上一个常数，或是使 ( 加上任意的 ，重新计算出的 与 这两个“物理实在”，是不会发生任何变化的。因此，在经典电磁场理论中，无需关心 与 的绝对大小，只需关心它们的时间变化率、旋度散度梯度等等相对的大小，或者说“势场的局部结构”。若不是为了计算方便，也无需定义 与 的零点。
再结合洛伦茨(Lorenz, not Lorentz)规范
可以将 (1a) 与 (1d) 转换为 的如下形式（具体可以是将 (2a)(2b) 代入 (1a) 再联立 (3) 得到 (4a)，将 (2a)(2b) 代入 (1d) 再联立 (3) 得到 (4b)。）
以上两式也被称为经典电动力学的达朗贝尔方程，若 则为简单的波动方程。可以清晰地看到，电磁波（在真空中）传播的速度为
以上的两个达朗贝尔方程，形式几乎相同。只需定义以下的两个四维矢量，便可以将 (4a)(4b) 合二为一。定义
还可以再将 与 合二为一，由此定义达朗贝尔算符：
那么 (4a)(4b) 就转换为以下的简洁形式：
如果直接承认 与 是洛伦兹变换四维矢量（事实上，在广义相对论中也可以这么表示），那么，要研究单粒子运动形成的电磁势，只需把（粒子系的电磁势）加以洛伦兹变换。
1.2 李纳-维谢尔势
只要猜出了一组 与 的解（需要满足以上所有方程），那么它在经典电动力学中就可以直接使用。以下笔者不加证明地摆出一组解
这组解就是李纳-维谢尔势(Liénard-Wiechert potentials)，也可以写为四维形式：
这里的 ，它并不代表任何坐标系的时间，而是代表源点的时间为 时，源点的状态产生的效应在 时到达场点（真空中电磁信息以光速 传播）。换句话说，场点在 时刻看到的源点，是源点在先前的 时刻的状态。因此，在计算某个场点在 时刻的电磁势或电磁场时，在对源点产生的效应进行积分时，我们需要使用“源点时间” 。在以下的公式推导中，源点的位置、时间、体积总是带一撇。
2. 点电荷产生的辐射
2.1 计算电磁势
本文仅考虑一个点电荷引起的场。那么由上一节李纳-维谢尔势的公式可以看出， 与点电荷的速度有关（），但与加速度无关。根据 (2a)， 才与加速度有关。因此，在导出 的时候，无需考虑粒子的加速度，直接计算粒子在 时的静电势，再加以洛伦兹变换，就可以得到 时刻场点的 。
粒子在 时在场点引起的电势，可以在 时（发出辐射时）的粒子参考系 下，可以用静电势来表示：
其中 是粒子发射辐射时，粒子与场点在 系下的距离，要通过洛伦兹变换，可以得到在观测者系 下的距离 ，二者的关系为
其中 为粒子发射辐射时，源点到场点的矢径，其长度为 。
已知粒子系 相对观察者系 的速度为 ，下面将粒子系下的 洛伦兹变换到观测者系下的 ：
2.2 计算电磁场与辐射场的表达式
2.2.1 准备工作
根据 (2a)(2b)，要算 ，需要算对 关于 的导数。然而，(13a)(13b) 中的 ，都是 的函数，不能直接对 求导。我们需要先把 三者的微分关系弄清。
稍加整理，得到
直接读出
下式是 (14) 的推导中的一个中间结果：
直接读出
这在稍后的推导中可以用到。
那么，我们终于可以开始导出 与 了。
2.2.2 计算 E
为方便，设 ，那么
接下来，计算
那么，合并 (20)(21)，并使用 ，得到
2.2.3 计算 B
2.2.4 计算辐射场
下面计算坡印廷矢量(Poynting vector)，即电磁场的能流密度矢量。
当我们只考虑远场辐射，可以将 表达式(22)的第二项略去，那么粒子的单位立体角辐射功率为
温馨提示： 是观测者受到辐射所用的时间符号， 是粒子发出辐射所用的时间符号，二者都在观测者参考系下。
2.3 几种特定的单粒子辐射场
从(25)可以看出，非相对论情况下（），辐射角分布图与速度无关，笔者用 Python 3.12 计算并绘制了非相对论情况下、几种相对论情况下的辐射角分布图。
由于以下的角分布图是关于 平面是对称的，为了方便观察，仅画出 的半边。
图中坐标轴的单位是 .
2.3.1 速度为零（或非相对论情况）
加速度沿 轴正方向。
2.3.2 加速度与速度平行
加速度与速度均沿 轴正方向。速度矢量 ，其中 取 的三种情况，依次对应如下的三幅辐射角分布图。
2.3.3 加速度与速度垂直
加速度沿 轴正方向，速度沿 轴负方向。速度矢量 ，其中 取 的五种情况，依次对应如下的五幅辐射角分布图。
2.3.4 一些其他情况
参考文献
[1] 尤峻汉. 天体物理中的辐射机制(第二版)[J], 第七章. 1996.
[2] 郭硕鸿. 电动力学(第三版)[J], 第一章. 2008.
[3] 林伟鹏老师的教导.
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